Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴，焦距为2，且长轴长是短轴长的倍．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设，过椭圆左焦点的直线交于、两点，若对满足条件的任意直线，不等式（）恒成立，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）的最小值为

【解析】

试题分析：（1）依题意，求出，，可得椭圆的标准方程；（2）设，，可得，首先讨论当直线垂直于轴时， ．

当直线不垂直于轴时，设直线：，与椭圆方程联立，得到

，，则，将

及，代入可得，要使不等式（）恒成立，只需，即的最小值为．

试题解析：（1）依题意，，，

解得，，∴椭圆的标准方程为．

（2）设，，所以，

当直线垂直于轴时，，且，此时，，

所以．

当直线不垂直于轴时，设直线：，

由整理得，

所以，，

所以

．

要使不等式（）恒成立，只需，即的最小值为．