Question

13．已知椭圆中心E在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、$C（{1，\frac{3}{2}}）$三点．
（1）求椭圆E的方程：
（2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；
（3）若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆E交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为mx²+my²=1（m＞0，n＞0），代入A，B，C的坐标，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；
（2）运用三角形的面积公式和内切圆半径与三边周长的关系，结合当D在椭圆上顶点时，面积最大，求得半径的最大值，可得圆心坐标；
（3）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，运用韦达定理，求得AM的方程和BN的方程与x=4的交点，证明它们重合即可得证．

解答 解：（1）设椭圆方程为mx²+my²=1（m＞0，n＞0），
将A（-2，0）、B（2，0）、$C（1，\frac{3}{2}）$代入椭圆E的方程，
得$\left\{\begin{array}{l}4m=1\\ m+\frac{9}{4}n=1\end{array}\right.$解得$m=\frac{1}{4}，n=\frac{1}{3}$，
∴椭圆E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）|FH|=2，设△DFH边上的高为h，
${S_{△DFH}}=\frac{1}{2}×2×h=h$，
设△DFH的内切圆的半径为R，因为△DFH的周长为定值6．
所以$\frac{1}{2}R×6=3R={S_{△DFH}}$，
当D在椭圆上顶点时，h最大为$\sqrt{3}$，
故S_△DFH的最大值为$\sqrt{3}$，
于是R也随之最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
此时内切圆圆心的坐标为$（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$；
（3）证明：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
并整理．得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0．
设直线l与椭圆E的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由根与系数的关系，得${x_1}+{x_2}=\frac{1}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$．           
直线AM的方程为：$y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}（x+2）$，它与直线x=4的交点坐标为$p（4，\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}）$，
同理可求得直线BN与直线x=4的交点坐标为$Q（4，\frac{{2{y_2}}}{{{x_2}-2}}）$．
下面证明P、Q两点重合，即证明P、Q两点的纵坐标相等．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
∴$\frac{{6{y_1}}}{{{x_1}+2}}-\frac{{2{y_2}}}{{{x_2}-2}}=\frac{{6k（{x_1}-1）-（{x_2}-2）-2k（{x_2}-1）（{x_1}+2）}}{{（{x_1}+2）（{x_2}-2）}}$
=$\frac{{2k[2{x_1}{x_2}-5（{x_1}+{x_2}）+8]}}{{（{x_1}+2）（{x_2}-2）}}=\frac{{2k[{\frac{{8（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{40{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+8}]}}{{（{x_1}+2）（{x_2}-2）}}=0$，
因此结论成立．
综上可知．直线AM与直线BN的交点住直线x=4上．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．