Question

14．已知F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆上一点M满足△MF₁F₂的周长为4+2$\sqrt{3}$，过椭圆上顶点与右顶点的直线与直线4x-2y+5=0垂直．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交椭圆C于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用△MF₁F₂的周长，过椭圆上顶点与右顶点的直线与直线4x-2y+5=0垂直及a、b、c三者关系，计算即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，再设直线方程代入题意方程，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，即可求得结论．

解答 解：（1）∵△MF₁F₂的周长为4+2$\sqrt{3}$，
∴2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，即a+c=2+$\sqrt{3}$，
又∵过椭圆上顶点与右顶点的直线与直线4x-2y+5=0垂直，
∴2×$\frac{b-0}{0-a}$=-1，即a=2b，
∴${c}^{2}=（2+\sqrt{3}-a）^{2}={a}^{2}-{b}^{2}={a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}$，
解得a=2或a=14+8$\sqrt{3}$（舍），
∴b=1，
故椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x=m，此时A，B两点关于x轴对称，
又以|AB|为直径的圆过原点，根据题意，设A（m，m），
将其代入椭圆方程得：m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴|AB|=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴x₁+x₂=$-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
从而y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{-8{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}+2m=\frac{2m}{1+4{k}^{2}}$，
由以|AB|为直径的圆过原点，则有$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=（1+k²）（-$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$）+km$•\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$+m²=0，
化简得5m²=4（k²+1），
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{\frac{8{k}^{2}•\frac{4}{5}（{k}^{2}+1）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-4•\frac{4•\frac{4}{5}（{k}^{2}+1）-4}{1+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{16}{5}•\frac{16{k}^{4}+17{k}^{2}+1}{16{k}^{4}+8{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{16}{5}[1+\frac{9{k}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}]}$=$\sqrt{\frac{16}{5}（1+\frac{9}{16{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+8}）}$．
∵$16{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}≥2\sqrt{16{k}^{2}•\frac{1}{{k}^{2}}}=8$，当且仅当k=±$\frac{1}{2}$时等号成立，
∴$\frac{1}{16{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+8}$≤$\frac{1}{8+8}$=$\frac{1}{16}$，
∴|AB|≤$\sqrt{\frac{16}{5}（1+\frac{9}{16}）}$=$\sqrt{5}$，
综上所述，弦长|AB|的最大值为$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题