Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）求直线AD₁与直线BD所成的角．

Answer 1

分析：（1）在正方体中AD₁⊥A₁D，又可得AD₁⊥A₁B₁，由线面垂直的判定定理可得；
（2）连接B₁D₁，AB₁，可得∠AD₁B₁即为所求的角，解三角形可得．

解答：解：（1）∵在正方体中AD₁⊥A₁D，A₁B₁⊥面ADD₁A₁，
且AD₁?面ADD₁A₁，∴AD₁⊥A₁B₁，
而A₁D，A₁B₁在平面CDA₁B₁内，且相交
∴AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）连接B₁D₁，AB₁，
∵BD∥B₁D₁，∴∠AD₁B₁即为所求的角，
而三角形AB₁D₁为正三角形，故∠AD₁B₁=60°，
∴直线AD₁与直线BD所成的角为60°

点评：本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定，属中档题．