题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对,
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先求得函数的定义域,然后对函数求导,对分成
四种情况,讨论函数的单调性.(2)根据(1)中所求函数的单调区间,对
四种情况分别研究函数的函数值,结合
来求得
的取值范围.
解:(1)由题意知,的定义域为
,
由,
得.
①当时,令
,可得
,
,得
,故函数
的增区间为
,减区间为
;
②当时,
,令
,可得
,
,得
或
,故
的增区间为
,减区间为
、
;
③当时,
,故函数
的减区间为
;
④当时,
,令
,可得
,
,得
,或
,故
的增区间为
,减区间为
,
.
综上所述:当时,
在
上为减函数,在
上为增函数;当
时,
在
,
上为减函数,在
上为增函数;当
时,
在
为减函数;当
时,
在
,
上为减函数,在
上为增函数.
(2)由(1)可知:
①当时,
,此时
;
②当时,
,当
时,有
,
,可得
,不符合题意;
③当时,
,由函数
的单调性可知,当
时
,不符合题意;
④当时,
,由函数
的单调性可知,当
时
,不符合题意.
综上可知,所求实数的取值范围为
.
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练习册系列答案
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,