题目内容
【题目】已知函数(其中
).
(Ⅰ) 当时,若
在其定义域内为单调函数,求
的取值范围;
(Ⅱ) 当时,是否存在实数
,使得当
时,不等式
恒成立,如果存在,求
的取值范围,如果不存在,说明理由(其中
是自然对数的底数,
=2.71828…).
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)首先求得导函数,然后分、
讨论函数的单调性,由此求得
的取值范围;(Ⅱ) 首先求得导函数,然后分
、
讨论函数的单调性,由此求得
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ) 由题,
,
.
①当时,知
,则
是单调递减函数;
②当时,只有对于
,不等式
恒成立,才能使
为单调函数,只需
,解之得
,此时
.
综上所述,的取值范围是
(Ⅱ) ,其中
,
.
(ⅰ) 当时,
,于是
在
上为减函数,则在
上也为减函数,
知恒成立,不合题意,舍去.
(ⅱ) 当时,由
得
.列表得
(0, | ( | ||
+ | 0 | - | |
↗ | 极大值 | ↘ |
①若,即
,则
在
上单调递减,
知,而
,
于是恒成立,不合题意,舍去.8分
②若,即
,
则在(
,
)上为增函数,在(
,
)上为减函数,
要使在恒有
恒成立,则必有
则所以
由于,则
,所以
.
综上所述,存在实数,使得
恒成立.12分
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