Question

9．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=log_n（n+1）（n≥2，n∈N^*），定义：使乘积a₁•a₂•…•a_k为正整数的k（k∈N^*）叫做“简易数”．则在[3，2013]内所有“简易数”的和为2035．

Answer 1

分析 由${a_n}={log_n}（n+1）=\frac{lg（n+1）}{lgn}$，可得a₁a₂…a_n=log₂（k+1），则“简易数”为使log₂（k+1）为整数的整数，即满足2ⁿ=k+1，k=2ⁿ-1，即可得出．

解答 解：∵${a_n}={log_n}（n+1）=\frac{lg（n+1）}{lgn}$，
∴${a_1}•{a_2}•…•{a_k}=1×\frac{lg3}{lg2}×\frac{lg4}{lg3}×…×\frac{lg（k+1）}{lgk}=\frac{lg（k+1）}{lg2}={log_2}（k+1）$，
则“简易数”为使log₂（k+1）为整数的整数，即满足2ⁿ=k+1，
∴k=2ⁿ-1，
则在区间[3，2013]内所有“简易数”的和为${2^2}-1+{2^3}-1+…+{2^{10}}-1=\frac{{4（1-{2^9}）}}{1-2}-9=2035$．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式、对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．