Question

20．设函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx+2cos²x+2
（1）求f（x）的最小正周期与值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求角A和边长a的值．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由周期公式和正弦函数的值域，即可得到所求；
（2）运用特殊角的三角函数值，可得A，再由面积公式和余弦定理，即可得到a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinx•cosx+2cos²x+2
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+3=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x）+3
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
则f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
由于x∈R，则sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
即有f（x）的值域为[1，5]；
（2）由f（A）=4，可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+3=4，
即为sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，（0＜A＜π），
可得2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$；
由b=1，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得c=2，
即有a²=b²+c²-2bccosA=1+4-4×$\frac{1}{2}$=3，
解得a=$\sqrt{3}$．
综上可得，A=$\frac{π}{3}$，a=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和和差公式，考查余弦定理和面积公式的运用，属于中档题．