Question

10．设x=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{3}$）^-1+（log${\;}_{\frac{1}{5}}$$\frac{1}{3}$）^-1，若x∈（k，k+1）（k∈Z），则k=2．

Answer 1

分析 利用对数的运算法则和对数的换底公式进行化简即可．

解答 解：x=（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{3}$）^-1+（log${\;}_{\frac{1}{5}}$$\frac{1}{3}$）^-1=$\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{1}{3}}+\frac{1}{lo{g}_{\frac{1}{5}}\frac{1}{3}}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}+lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{1}{5}$=$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{1}{10}$，
∵$\frac{1}{27}$＜$\frac{1}{10}$＜$\frac{1}{9}$，
∴$lo{g}_{\frac{1}{3}}$$\frac{1}{9}$＜$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{1}{10}$＜$lo{g}_{\frac{1}{3}}$$\frac{1}{27}$，
即2＜$lo{g}_{\frac{1}{3}}\frac{1}{10}$＜3，
即x∈（2，3），
∵x∈（k，k+1）（k∈Z），
∴k=2，
故答案为：2

点评 本题主要考查对数的化简和估值，利用对数的运算法则和对数的换底公式是解决本题的关键．