Question

17．R上的奇函数f（x）关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=1-（x-1）²．
（1）证明f（x）为周期函数．
（2）求f（x）在x∈[-2，2]的表达式．
（3）结合图象在R上解关于x的方程f（x）=$\frac{x}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据函数周期性的定义，结合函数奇偶性和对称性的性质即可证明f（x）为周期函数．
（2）根据函数奇偶性和对称性的性质即可求f（x）在x∈[-2，2]的表达式．
（3）结合图象在R上解关于x的方程f（x）=$\frac{x}{2}$．

解答 解：（1）∵f（x）关于x=1对称，
∴f（1+x）=f（1-x），
∵f（x）为奇函数，
∴f（1+x）=f（1-x）=-f（x-1），
即f（x+2）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
则f（x）为周期函数，周期为4．
（2）若x∈[-1，0]时，则-x∈[0，1]时，
此时f（-x）=1-（-x-1）²=1-（x+1）²．
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=1-（x+1）²=-f（x），
则f（x）=（x+1）²-1=x²+2x，x∈[-1，0]
若x∈[-2，-1]时，则x+2∈[0，1]，
则此时f（x）=-f（x+2）=-[1-（x+2-1）²]=-1+（x+1）²=x²+2x，x∈[-2，-1]．
若x∈[1，2]时，则x-2∈[-1，0]，
由f（x+2）=-f（x）
得f（x）=-f（x-2）=-[（x-2+1）²-1]=1-（x-1）²=-x²+2x，x∈[1，2]
即f（x）在x∈[-2，2]的表达式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，}&{-2≤x≤0}\\{-{x}^{2}+2x，}&{0＜x≤2}\end{array}\right.$．

（3）当x∈[0，2]时，由f（x）=$\frac{x}{2}$得-x²+2x=$\frac{x}{2}$，
即x²-$\frac{3x}{2}$=0，得x=0或x=$\frac{3}{2}$，
当x∈[-2，0]时，由f（x）=$\frac{x}{2}$得x²+2x=$\frac{x}{2}$，
即x²+$\frac{3x}{2}$=0，得x=0或x=-$\frac{3}{2}$，
由于函数的周期为4，
则方程f（x）=$\frac{x}{2}$的根为x=4k或x=$\frac{3}{2}$+4k，或x=-$\frac{3}{2}$+4k，k∈Z．

点评 本题主要考查周期函数的证明以及函数解析式的求解，根据函数奇偶性和对称性以及奇偶性的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．