Question

【题目】已知抛物线： （）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为，椭圆： （）的离心率为，且过抛物线的焦点.

（1）求抛物线和椭圆的方程；

（2）过定点引直线交抛物线于、两点（在的左侧），分别过、作抛物线的切线， ，且与椭圆相交于、两点，记此时两切线， 的交点为.

①求点的轨迹方程；

②设点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) (2)①②有最大值为点坐标为

【解析】试题分析：1）由抛物线C2：x2=2py（p＞0）的通径长为4，得p=2，由此能求出抛物线C2的方程．由题意C2焦点坐标为（0，1），，由此能求出椭圆C1的方程．

（2）①设， ，由点、、三点共线得，设切线的方程为，与抛物线方程联立消去，得

，可得，即，同理可得，切线的方程为联立两方程解得，点坐标为)，由此能求出点C的轨迹方程．

②设l1与椭圆方程联立，得： ，由此利用韦达定理和根的判别式结合已和条件能求出△DPQ的面积的最大值和此时点C的坐标．

试题解析：

（1）∵抛物线的通径长为

∴，得

∴抛物线的方程为

∵抛物线的焦点在椭圆上

∴，得

∵椭圆的离心率为

∴

∴椭圆的方程为

（2）设，

其中， ，

∵点、、三点共线

∴

∴（*）

设切线的方程为，与抛物线方程联立消去，得

，由，可得

即

同理可得，切线的方程为

联立两方程解得，点坐标为

①设点，则，

代入（*）式得，点的轨迹方程为：

②由切线和椭圆方程，消去得：

，

∴，

∴

，

∵点到切线的距离为

∴的面积为

∴当， 时， 有最大值为

此时，由（*）可得

∴点坐标为