题目内容
【题目】如图，已知抛物线
：
，过直线
上一点
作直线
交抛物线于
，
两点，且点为
中点、作直线
交
轴于点
．
（1）求点的坐标；
（2）求
面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）设点
，
，中点
，直线
的斜率为
，利用点差法得
，写出直线
的方程可得
的坐标；
（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式得
，利用点到直线的距离公式得点到直线的距离，进而表示出
的面积，利用基本不等式确定三角形面积的最大值．
设点，，中点，
直线的斜率为，（斜率显然存在且不为0）．
由
可得
，
所以
，故
，
（1）直线：
，即
，解得点．
（2）因为直线经过点，直线的斜率为，
所以可得直线的方程是：
，
由
联立可得
，
所以
，
所以
，
又因为点到直线的距离为
，
所以
的面积为：
当
时，的面积取到最大值．
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