题目内容
【题目】如图,已知平面ADC∥平面A1B1C1 , B为线段AD的中点,△ABC≈△A1B1C1 , 四边形ABB1A1为正方形,平面AA1C1C丄平面ADB1A1 , A1C1=A1A,∠C1A1A= ,M为棱A1C1的中点.
(I)若N为线段DC1上的点,且直线MN∥平面ADB1A1 , 试确定点N的位置;
(Ⅱ)求平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)连结A1D,直线MN∥平面ADB1A1 , MN平面A1C′1D,
平面A1C1D∩平面ADB1A1=A1D1 , ∴MN∥A1D,
又M为棱A1C1的中点,∴MN为△A1C1D的中位线,
∴N为DC1的中点.
(Ⅱ)设A1B1=1,则A1A=1,A1C1=1,因为B为AD的中点,所以AD=2,因为△ABC≈△A1B1C1 ,
所以A1C1=AC,又平面ABC∥平面A1B1C1 , 平面A1B1C1∩平面A1AOC1=A1C1 , 平面ABC∩平面A1AOC1=AO,
∴A1C1∥AC,所以四边形A1ACC1是平行四边形,又A1C1=A1A,所以A1ACC1是菱形,又∠C1A1A= ,
A1M= ,∴ ,∴AM⊥A1C1 , ∴AM⊥AC,∵AD⊥AA1 , 平面AA1C1C⊥平面ADB1A1 ,
∴AD⊥平面AA1C1C,∴AD⊥AM,AD⊥AC,∴AM,AD,AC两两垂直,
以A为坐标原点,AD,AC,AM分别为x,y,z轴,
由题意可得:A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),C1( ),∴ =(﹣2,1,0), ,
设平面CC1D的法向量为: =(x,y,z),则 ,
令z=2 ,可得y=6,x=3,可得 =(3,6,2 ),平面MAD的一个法向量为: =(0,1,0),
平面MAD与平面CC1D所成的锐二面角的余弦值为:cosθ=|cos |
= = =
【解析】(Ⅰ)连结A1D,直线MN∥平面ADB1A1 , 推出MN∥A1D,说明MN为△A1C1D的中位线,得到N为DC1的中点.(Ⅱ)设A1B1=1,证明AD⊥AM,AD⊥AC,∴AM,AD,AC两两垂直,以A为坐标原点,AD,AC,AM分别为x,y,z轴,求出相关点的坐标,求出平面CC1D的法向量,平面MAD的一个法向量,利用空间向量的数量积求解即可.