题目内容

【题目】已知函数
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若﹣1<x<1时,均有f(x)≤0成立,求实数a的取值范围.

【答案】
(1)解:当a=1时,f(x)的定义域为(﹣1,1)∪(1,+∞),

f′(x)=

当﹣1<x<0或>3时,f′(x)>0,当0<x<1或1<x<3,f′(x)<0,

所以函数f(x)的增区间为(﹣1,0),(3,+∞),减区间为(0,1),(1,3)


(2)解:f′(x)=

当a≤0时,f′(x)>0恒成立,故0<x<1时,f(x)>f(0)=0,不符合题意.

当a>0时,由f′(x)=0,得x1= ,x2=

若0<a<1,此时0<x1<1,对0<x<x1,有f′(x)>0,f(x)>f(0)=0,不符合题意.

若a>1,此时﹣1<x1<0,对x1<x<0,有f′(x)<0,f(x)>f(0)=0,不符合题意.

若a=1,由(Ⅰ)知,函数f(x)在x=0处取得最大值0,符合题意,

综上实数a的取值为1


【解析】(1)当a=1时,f(x)的定义域为(﹣1,1)∪(1,+∞), 求出f′(x)= ,即可求单调区间;(2)f′(x)=
分(1)a≤0,(2)当a>0,讨论单调性及最值即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

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