Question

【题目】已知抛物线的焦点为，为轴上的点.

（1）当时，过点作直线与相切，求切线的方程；

（2）存在过点且倾斜角互补的两条直线，，若，与分别交于，和，四点，且与的面积相等，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 切线的方程为或;(2) 的取值范围为或或.

【解析】分析：（1）设切点为，再求切线的斜率和切点，最后写出直线的点斜式方程化简即得解. (2)先求出的面积为，的面积为.再令它们想到得到找到a的范围.

详解：（1）设切点为，则

∴点处的切线方程为.

∵过点，∴，解得或.

当时，切线的方程为或.

（2）设直线的方程为，代入得

， ①

，得， ②

由题意得，直线的方程为，

同理可得，即， ③

②×③得，∴. ④

设，，则，.

∴.点到的距离为，

∴的面积为.

同理的面积为.

由已知得，

化简得， ⑤

欲使⑤有解：则，∴.

又，得，∴.

综上，的取值范围为或或.