Question

如图所示，已知，在边长为1的正方形ABCD的一边上取一点E，使AE＝AD，从AB的中点F作HF⊥EC于H．

(1)求证：FH＝FA；
(2)求EH∶HC的值．

Answer 1

（1）见解析  （2）1∶4

解：(1)证明：连接EF，FC，在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90°．

∵AE＝AD，F为AB的中点，
∴＝．
∴△EAF∽△FBC，
∴∠AEF＝∠BFC，∠EFA＝∠BCF．
又∠A＝∠B＝90°，
∴∠EFC＝90°，＝．
又∵∠EFC＝∠B＝90°，∴△EFC∽△FBC．
∴∠HEF＝∠BFC，∠ECF＝∠BCF．
∴∠AEF＝∠HEF，∠AFE＝∠HFE，又EF＝EF，
∴△EAF≌△EHF，∴FH＝FA．
(2)由(1)知△EFC是直角三角形，FH是斜边EC上的高，
由射影定理可得EF²＝EH·EC，FC²＝CH·CE，于是EH∶HC＝EF²∶FC²．
由(1)得＝，于是EH∶HC＝EF²∶FC²＝1∶4．