题目内容
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：
+
=1（a＞b＞0）右焦点的直线x+y-
=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为
．
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅰ）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y-
=0得c+0-
=0，解得c=
．
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则
+
=1，
+
=1，相减得
+
=0，
∴
+
×
=0，
∴
+
×(-1)=0，又kOP=
=
，
∴
-
=0，即a2=2b2．
联立得
，解得
，
∴M的方程为
+
=1．
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立
，消去y得到3x2+4tx+2t2-6=0，
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2-12（2t2-6）=72-8t2＞0，解-3＜t＜3（*）．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=-
，x3x4=
．
∴|CD|=
=
=
．
联立
得到3x2-4
x=0，解得x=0或
，
∴交点为A（0，
），B(
，-
)，
∴|AB|=
=
．
∴S四边形ACBD=
|AB||CD|=
×
×
=
，
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为
，满足（*）．
∴四边形ACBD面积的最大值为
．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点P（x0，y0），
则
| ||
| a2 |
| ||
| b2 |
| ||
| a2 |
| ||
| b2 |
| ||||
| a2 |
| ||||
| b2 |
∴
| x1+x2 |
| a2 |
| y1+y2 |
| b2 |
| y1-y2 |
| x1-x2 |
∴
| 2x0 |
| a2 |
| 2y0 |
| b2 |
| 1 |
| 2 |
| y0 |
| x0 |
∴
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| 2b2 |
联立得
|
|
∴M的方程为
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，
联立
|
∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，
∴△=16t2-12（2t2-6）=72-8t2＞0，解-3＜t＜3（*）．
设C（x3，y3），D（x4，y4），∴x3+x4=-
| 4t |
| 3 |
| 2t2-6 |
| 3 |
∴|CD|=
| (1+12)[(x3+x4)2-4x3x4] |
2[(-
|
2
| ||||
| 3 |
联立
|
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
∴交点为A（0，
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴|AB|=
(
|
4
| ||
| 3 |
∴S四边形ACBD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
4
| ||
| 3 |
2
| ||||
| 3 |
8
| ||||
| 9 |
∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为
| 8 |
| 3 |
| 6 |
∴四边形ACBD面积的最大值为
| 8 |
| 3 |
| 6 |
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AD，从AB的中点F作HF⊥EC于H．
