题目内容
【题目】设函数
(1)若在点
处的切线斜率为
,求
的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)若,求证:在
时,
.
【答案】(1);(2)当
时,
的单调减区间为
.单调增区间为
;
当时,
的单调减区间为
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)先求出,通过
在点
处的切线斜率,可得
,解得
;(2)由(1)知:
,结合导数分①
、②
两种情况讨论分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;;(3)通过变形,只需证明
即可,利用
,根据指数函数及幂函数的性质、函数的单调性及零点判定定理即得到结论.
试题解析:(1)若在点
处的切线斜率为
,
,
得.
(2)由
当时,令
解得:
当变化时,
随
变化情况如表:
由表可知: 在
上是单调减函数,在
上是单调增函数
当时,
,
的单调减区间为
所以,当时,
的单调减区间为
.单调增区间为
当时,
的单调减区间为
(3)当时,要证
,即证
令,只需证
∵
由指数函数及幕函数的性质知: 在
上是增函数
∵,∴
在
内存在唯一的零点,
也即在
上有唯一零点
设的零点为
,则
,即
,
由的单调性知:
当时,
,
为减函数
当时,
,
为增函数,
所以当时.
∴.
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