Question

【题目】如图所示，在长方体中，已知，．

（1）求：凸多面体的体积；

（2）若为线段的中点，求点到平面的距离；

（3）若点、分别在棱、上滑动，且线段的长恒等于，线段的中点为

①试证：点必落在过线段的中点且平行于底面的平面上；

②试求点的轨迹．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）（3）①证明见解析；②点的轨迹为以点M为圆心,为半径的圆在长方体内部的部分。

【解析】

（1）根据多面体的体积是长方体的体积与三棱锥体积的差，可得解；

（2）由点M到平面的距离即为点到平面的距离，即为点A到直线BD的距离，由三角形的等面积法可求解；

（3）①由点P到底面ABCD的距离为定值，得点P必在过的中点M，且平行于底面ABCD的平面上；

②由， ,得点的轨迹为以点M为圆心, 为半径的圆在长方体内部的部分。

解：（1）因为多面体的体积是长方体的体积与三棱锥体积的差，

所以，

所以；

（2）因为点M到平面的距离即为点到平面的距离，即为点A到直线BD的距离，

所以过A作交于N，则由三角形的等面积法得，所以，所以，

于是点M到平面的距离为；

（3）①因为点P到底面ABCD的距离为定值，所以点P必在过的中点M，

且平行于底面ABCD的平面上；

②连接EA，由于， ,

所以点的轨迹为以点M为圆心, 为半径的圆在长方体内部的部分。

故得解.