题目内容
【题目】如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求几何体D﹣ABC的体积．
【答案】
（1）
证明：
【证法一】：在图1中，由题意知， 
，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，
且平面ADC∩平面ABC=AC，DO平面ACD，从而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD
【证法二】：在图1中，由题意，得 ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC面ABC，∴BC⊥平面ACD
（2）
解：由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，且 
，S△ACD= 
×2×2=2，
所以三棱锥B﹣ACD的体积为： 
，
由等积性知几何体D﹣ABC的体积为： 
．
【解析】（1）解法一：由题中数量关系和勾股定理，得出AC⊥BC，再证BC垂直与平面ACD中的一条直线即可，△ADC是等腰Rt△，底边上的中线OD垂直底边，由面面垂直的性质得OD⊥平面ABC，所以OD⊥BC，从而证得BC⊥平面ACD；
解法二：证得AC⊥BC后，由面面垂直，得线面垂直，即证．（2），由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．
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