Question

【题目】已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中．

（1）求的值；

（2）令，若函数存在极值点，求实数的取值范围，并求出极值点．

Answer 1

【答案】（I）a=﹣2；（II）解题过程如解析所示

【解析】试题分析：（1）令f（b）-（2b-1）b+b2=1即可解出a；（2）求出φ′（x），令φ′（x）=0，讨论b的符号得出两根与区间（0，1）的关系，从而得出φ（x）的单调性，得出极值的情形．

试题解析：（I）∵f（x）﹣（2b﹣1）x+b2＜1的解集为（b，b+1），

即x2+（a﹣2b+1）x+b2+b＜0的解集为（b，b+1），

∴方程x2+（a﹣2b+1）x+b2+b=0的解为x1=b，x2=b+1，

∴b+（b+1）=﹣（a﹣2b+1），解得a=﹣2．

（II）φ（x）得定义域为（1，+∞）．

由（I）知f（x）=x2﹣2x+b+1，∴g（x）==x﹣1+，

∴φ′（x）=1﹣﹣=，

∵函数φ（x）存在极值点，∴φ′（x）=0有解，

∴方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根，且在（1，+∞）上至少有一根，

∴△=（2+k）2﹣4（k﹣b+1）=k2+4b＞0．

解方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0得x1=，x2=

（1）当b＞0时，x1＜1，x2＞1，

∴当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，φ′（x）＞0，

∴φ（x）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

∴φ（x）极小值点为

（2）当b＜0时，由△=k2+4b＞0得k＜﹣2，或k＞2，

若k＜﹣2，则x1＜1，x2＜1，

∴当x＞1时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，不符合题意；

若k＞2，则x1＞1，x2＞1，

∴φ（x）在（1，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，

∴φ（x）的极大值点为，极小值点为．

综上，当b＞0时，k取任意实数，函数φ（x）极小值点为；

当b＜0时，k＞2，函数φ（x）极小值点为，极大值点为