题目内容
【题目】(本小题满分12分)
已知函数,函数
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若不等式在
上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若,求证:不等式:
.
【答案】(1)略(2) (3)略
【解析】试题分析:对函数求导,讨论,确定单调区间和单调性;作差构造新函数,利用导数
判断函数的单调性,根据不等式恒成立条件,求出的范围;借助第二步的结论,证明不等式.
试题解析:
(Ⅰ)
,
当时,增区间
,无减区间
当时,增区间
,减区间
(Ⅱ)
即在
上恒成立
设,考虑到
,在
上为增函数
,
当
时,
在
上为增函数,
恒成立
当时,
,
在
上为增函数
,在
上,
,
递减,
,这时不合题意,
综上所述,
(Ⅲ)要证明在上,
只需证明
由(Ⅱ)当a=0时,在上,
恒成立
再令
在上,
,
递增,所以
即,相加,得
所以原不等式成立.
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