题目内容
【题目】已知数列 的各项均为正整数,对于任意n∈N* , 都有
成立,且
.
(1)求 ,
的值;
(2)猜想数列 的通项公式,并给出证明.
【答案】
(1)
解:因为 ,
当 时,由
,即有
,
解得 .因为
为正整数,故
.
当 时,由
,
解得 ,所以
.
(2)
解:由 ,
,
,猜想:
下面用数学归纳法证明.
①当 ,
,
时,由(1)知
均成立.
②假设 成立,则
,
由条件得 ,
所以 ,
所以
因为 ,
,
,
又 ,所以
.
即 时,
也成立.
由①,②知,对任意 ,
.
【解析】本题主要考查了数学归纳法证明不等式,解决问题的关键是根据(1)先列出 所满足条件
,化简得
,再根据数列
的各项均为正整数这一限制条件求出
,同理可得
(2)猜想:
,用数学归纳法证明的关键由k成立推出k+1成立,其推导思路同(1):由条件得
,所以
,所以
因为
,
,
,所以
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