Question

19．已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A₁DE位置，使得A₁C=4，F是线段A₁C的中点（如图2）．
（1）求证：BF∥面A₁DE；
（2）求证：面A₁DE⊥面DEBC；
（3）求二面角A₁-DC-E的正切值．

Answer 1

分析 （1）取A₁D中点G，并连接FG，EG，能够说明四边形BFGE为平行四边形，从而根据线面平行的判定定理即可得出BF∥面A₁DE；
（2）先根据已知的边、角值说明△A₁DE为等边三角形，然后取DE中点H，连接CH，从而得到A₁H⊥DE，根据已知的边角值求出A₁H，CH，得出${A}_{1}{H}^{2}+C{H}^{2}={A}_{1}{C}^{2}$，从而得到A₁H⊥CH，从而根据线面垂直及面面垂直的判定定理即可证出面A₁DE⊥面DEBC；
（3）过H作HO⊥DC，垂足为O，并连接A₁O，容易说明DC⊥面A₁HO，从而得出∠A₁OH为二面角A₁-DC-E的平面角，能够求出HO，从而求出tan∠A₁OH，即求出了二面角A₁-DC-E的正切值．

解答 解：（1）证明：如图，取DA₁的中点G，连FG，GE；
F为A₁C中点；
∴GF∥DC，且$GF=\frac{1}{2}DC=EB$；
∴四边形BFGE是平行四边形；
∴BF∥EG，EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE；
∴BF∥平面A₁DE；
（2）证明：如图，取DE的中点H，连接A₁H，CH；

AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点；
∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA₁E也为等边三角形；
∴A₁H⊥DE，且${A}_{1}H=\sqrt{3}$；
在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°；
根据余弦定理，可得：
HC²=1+16-4=13，在△A₁HC中，${A}_{1}H=\sqrt{3}$，$HC=\sqrt{13}$，A₁C=4；
∴${A}_{1}{C}^{2}={A}_{1}{H}^{2}+H{C}^{2}$，即A₁H⊥HC，DE∩HC=H；
∴A₁H⊥面DEBC；
又A₁H?面A₁DE；
∴面A₁DE⊥面DEBC；
（3）如上图，过H作HO⊥DC于O，连接A₁O；
A₁H⊥面DEBC；
∴A₁H⊥DC，A₁H∩HO=H；
∴DC⊥面A₁HO；
∴DC⊥A₁O，DC⊥HO；
∴∠A₁OH是二面角A₁-DC-E的平面角；
在Rt△A₁HO中，${A}_{1}H=\sqrt{3}$，$HO=DH•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故tan$∠{A}_{1}OH=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$；
所以二面角A₁-DC-E的正切值为2．

点评 考查中位线的性质，平行四边形的概念，线面平行的判定定理，能根据折叠前图形的边角值得到折叠后对应的边角值，直角三角形边的关系，线面垂直、面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义及求法．