题目内容

14．已知函数f（x）=-x3+2cx2-c2x+1在x=2处有极大值，求实数c的值．

分析 由题意可得f′（2）=0，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．

解答 解：f′（x）=-3x2+4cx-c2，
∵函数f（x）=-x3+2cx2-c2x+1在x=2处有极大值，
∴f′（2）=-3×22+4c×2-c2=0，解得c=2或6．
当c=2时，f′（x）=-（3x-2）（x-2），在x=2处取得极大值，符合题意；
当c=6时，f′（x）=-3（x-2）（x-6），在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．
因此c=2．

点评 熟练掌握函数在某一点取得极大值的充分条件是解题的关键．

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