题目内容
8．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-2alnx+（a-2）x，a∈R．（1）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围；
（2）是否存在实数a，对任意x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析 （1）求出函数的导数，分解因式，由题意可得f′（x）=0有两个不相等的正根，即有-a＞0且-a≠2，即可得到a的范围；
（2）假设存在实数a使得对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立，假设0＜x1＜x2，则f（x2）-ax2＞f（x1）-ax1恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）-ax，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．
解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-2alnx+（a-2）x的导数为：
f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+a-2=$\frac{{x}^{2}+（a-2）x-2a}{x}$=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$，
由于函数f（x）有两个极值点，则f′（x）=0有两个不相等的正根，
即有-a＞0且-a≠2，解得a＜0且a≠-2．
则有a的取值范围是（-∞，-2）∪（-2，0）；
（2）假设存在实数a使得对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，
有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立，
不妨设0＜x1＜x2，则f（x2）-ax2＞f（x1）-ax1恒成立．
令g（x）=f（x）-ax，只要g（x）在（0，+∞）为增函数．
又函数g（x）=$\frac{1}{2}$x2-2alnx-2x．
考查函数g′（x）=x-$\frac{2a}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}-2x-2a}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}-1-2a}{x}$．
要使g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只要-1-2a≥0，即a≤-$\frac{1}{2}$，
故存在实数a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]，
对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＞a恒成立．
点评 本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了利用导数求函数的极值和最值，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造函数法解决不等式恒成立问题，属于中档题．
已知平行四边形ABCD（如图1），AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A1DE位置，使得A1C=4，F是线段A1C的中点（如图2）．
如图，在平面直角坐标系xOy中有一椭圆，椭圆方程为C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．左右焦点分别F1（-1，0）和（1，0）．设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．求证：PF1+PF2是定值．| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{1}{3}$ | a | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{6}$ |