题目内容
【题目】在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)中,侧面
底面
,底面
是边长为2的正三角形,
,
.
(1)求证:;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)取的中点
,连接
,
,通过证明
,
,证得
平面
,由此证得
.
(2)解法一:利用几何法作出二面角的平面角,解三角形求得二面角的正切值,再求得其正弦值.
解法二:建立空间直角坐标系,利用平面和平面
的法向量,计算出二面角的余弦值,再求得其正弦值.
(1)证明:如图,取的中点
,连接
,
,
∵,
∴,
∵底面是边长为2的正三角形,
∴,
,
∴,又
,
∴平面
,且
平面
,
∴.
(2)解法一:如上图,过点作
于点
,连接
.
∵侧面底面
,
∴侧面平面
,又
,侧面
平面
,
∴侧面
,又
平面
,
∴,又
且
,
∴平面
,∴
,
∴为所求二面角的平面角,
∵,∴
,
又,∴
,
∴二面角的正弦值为
.
法二:如图,取的中点
,以
为坐标原点,射线
,
,
分别为
,
,
轴的正方向建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
∴,
,
设为平面
的法向量,
∴,
令,得
,
又为平面
的一个法向量,
设二面角的大小为
,显然
为锐角,
,
则,∴二面角
的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖,以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法,目前,国内青蒿人工种植发展迅速,调查表明,人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性,现将这三项的指标分别记为,
,
,并对它们进行量化:0表示不合格,1表示临界合格,2表示合格,再用综合指标
的值评定人工种植的青蒿的长势等级:若
,则长势为一级;若
,则长势为二级;若
,则长势为三级;为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况,研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地,得到如下结果:
种植地编号 | |||||
种植地编号 | |||||
(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地,求这两地的空气湿度的指标相同的概率;
(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地,其综合指标为,从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地,其综合指标为
,记随机变量
,求
的分布列.