题目内容

1.已知($\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$)n(n∈N+)展开式的前三项系数成等差数列.
(1)求n的值;
(2)求这个展开式的一次项.

分析 (1)先求出)($\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$)n(n∈N+)展开式的通项公式,根据三项系数成等差数列可得2•n•$\frac{1}{2}$=1+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{4}$,从而求得n的值.
(2)令x的幂指数等于1,求得r的值,可得这个展开式的一次项.

解答 解:(1)($\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\root{4}{x}}$)n(n∈N+)展开式的通项公式为 Tr+1=${C}_{n}^{r}$•${(\sqrt{x})}^{n-r}$•${(\frac{1}{2})}^{r}$•${(\frac{1}{\root{4}{x}})}^{r}$=${C}_{n}^{r}$•2-r•${x}^{\frac{2n-3r}{4}}$,
根据前三项系数成等差数列可得2•n•$\frac{1}{2}$=1+${C}_{n}^{2}$•$\frac{1}{4}$,即 (n-1)(n-8)=0,求得n=8或n=1(舍去).
(2)令$\frac{16-3r}{4}$=1,可得r=4,
故这个展开式的一次项为 ${C}_{8}^{4}$•2-4•x=$\frac{35}{8}$•x.

点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,属于基础题.

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