Question

【题目】设函数f（x）=ax﹣﹣2lnx.

（Ⅰ）若f（x）在x=2时有极值，求实数a的值和f（x）的极大值；

（Ⅱ）若f（x）在定义域上是减函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)a≤0.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意得到关于实数a的方程，解方程可得，据此讨论函数的性质可得函数的极大值为；

(Ⅱ)函数为减函数，则导函数小于等于0恒成立，据此分类讨论可得实数a的取值范围是a≤0.

试题解析：

（Ⅰ）f′（x）=a+﹣；

∴f′（2）=a+﹣1=0，解得a=；

∴f′（x）=+﹣=，

x＞0，令f′（x）=0，解得：x=，或2；

∴x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0；

∴x=时，f（x）取得极大值f（）=2ln2﹣；

（Ⅱ）∵f′（x）=，

∴需x＞0时ax2﹣2x+a≤0恒成立；

a=0时，函数y=ax2﹣2x+a开口向上，x＞0时，满足ax2﹣2x+a＜0恒成立，

a＜0时，函数g（x）=ax2﹣2x+a的对称轴是x=1/a＜0，

图象在y轴左侧且g（0）=a＜0，故满足题意，

a>0时不成立

综上，a≤0.