题目内容
【题目】已知定义在实数集上的偶函数
和奇函数
满足
.
(1)求与
的解析式;
(2)若定义在实数集上的以2为最小正周期的周期函数
,当
时,
,试求
在闭区间
上的表达式,并证明
在闭区间
上单调递减;
(3)设(其中
为常数),若
对于
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1),
(2)
;证明见解析(3)
【解析】
(1)根据奇函数与偶函数定义,可分别代入得关于与
的方程组,解方程组即可求得
与
的解析式;
(2)由为以2为最小正周期的周期函数,所以当
时
,即可根据
求得求
在闭区间
上的表达式.根据函数单调性的定义,任取
,即可通过作差法证明函数的单调性.
(3)利用换元法,令,由
可求得
的取值范围.则
.由
可知当
时满足
,因而可知
恒成立.分离参数
可知
,结合基本不等式即可求得
的取值范围.
(1)由①,
因为是偶函数,
是奇函数
所以有,即
②
∵,
定义在实数集
上
由①和②解得,
(2)是
上以2为正周期的周期函数
所以当时,
即在闭区间
上的表达式为
下面证明在闭区间
上递减:
,当且仅当
即时等号成立.对于任意
因为,所以
,
,
,
,
从而,所以当
时,
递减
(3)∵在
单调递增
∴
∴对于
恒成立
∴对于
恒成立
令,则
当且仅当时,等号成立,且
所以在区间上
单调递减
∴
∴为
的取值范围
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练习册系列答案
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闯红灯 | 不闯红灯 | 合计 | |
年龄不超过 | |||
年龄超过 | |||
合计 |
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,并估计该路口
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附:
,
参考数据:,