题目内容
如图,在三棱锥
P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥底面ABC.
(1)
求证:OD∥平面PAB;(2)
(3)
当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?
答案:略
解析:
解析:
(1) 证明:∵O、D分别为AC、PC的中点,∴OD∥PA.又∵ PA![]() ∴ OD∥平面PAB(2) 解:∵AB⊥BC,OA=OC,∴ OA=OA=OC又∵ OP⊥平面ABC,∴ PA=PB=PC.取 BC中点E,连结PE.则BC⊥平面POE.作 OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC.∴∠ ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD∥PA,∴ PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.在Rt△ODF中,(3) 解由(2)知,OF⊥平面PBC,∴ F是O在平面PBC内的射影.∵ D是PC的中点,若点F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线.∴直线 OB在平面PBC内的射影为直线BD.∵ OD⊥PC,∴PC⊥BD.∴ PB=BC,即k=1.反之,当 k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴ O在平面PBC内的射影为△PBC的重心. |

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