题目内容

如图,在三棱锥P-ABC中,ABBCAB=BC=kPA,点OD分别是ACPC的中点,OP⊥底面ABC

(1)求证:OD∥平面PAB

(2)时,求直线PA与平面PBC所成的角的正弦值;

(3)k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心?

答案:略
解析:

(1)证明:∵OD分别为ACPC的中点,∴ODPA

又∵PA平面PAB

OD∥平面PAB

(2)解:∵ABBCOA=OC

OA=OA=OC

又∵OP⊥平面ABC

PA=PB=PC

BC中点E,连结PE.则BC⊥平面POE

OFPEF,连结DF,则OF⊥平面PBC

∴∠ODFOD与平面PBC所成的角.又ODPA

PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.在RtODF中,

(3)解由(2)知,OF⊥平面PBC

FO在平面PBC内的射影.

DPC的中点,若点F是△PBC的重心,则BFD三点共线.

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD

ODPC,∴PCBD

PB=BC,即k=1

反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,

O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.


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