Question

18．若P，Q是椭圆9x²+16y²=144上两动点，O是其中心，OP⊥OQ，则中心O到直线PQ的距离为$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当PQ⊥x轴或PQ∥x轴时，把y=x与椭圆的方程联立即可解出．当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=kx+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．与椭圆方程联立，利用根与系数及其$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：当PQ⊥x轴或AB∥x轴时，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{9{x}^{2}+16{y}^{2}=144}\end{array}\right.$，
解得x=y=±$\frac{12}{5}$，
∴中心O到直线PQ的距离|OH|=$\frac{12}{5}$．
当PQ与x轴不垂直时，
设PQ的方程为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{9{x}^{2}+16{y}^{2}=144}\end{array}\right.$，
化为（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0，
△＞0．x₁+x₂=-$\frac{32km}{9+16{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
∵$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{（1+{k}^{2}）（16{m}^{2}-144）}{9+16{k}^{2}}$+$\frac{-32{k}^{2}{m}^{2}}{9+16{k}^{2}}$+m²=0，
化为25m²=144k²+144．
∴点O到弦PQ的距离OH=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{12}{5}$．
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．