题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,
的四个顶点构成的四边形面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上是否存在相异两点
,使其满足:①直线
与直线
的斜率互为相反数;②线段
的中点在
轴上,若存在,求出
的平分线与椭圆相交所得弦的弦长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)3
【解析】试题分析:(1)由椭圆几何意义得,再根据A在椭圆上,列方程组,解得
,(2)先设直线
的方程,并与椭圆方程联立解出E点横坐标;根据直线
与直线
的斜率互为相反数,可推出F点横坐标,再根据线段
的中点在
轴上,解出直线
的斜率,最后根据几何性质得
的角平分线方程为
.
试题解析:解:(1)由已知得,
解得,
∴椭圆的方程
.
(2)设直线的方程为
,代入
,得
.(*)
设,
,且
是方程(*)的根,
∴,
用代替上式中的
,可得
,
∵的中点在
轴上,∴
,
∴,解得
,
因此满足条件的点,
存在.
由平面几何知识可知的角平分线方程为
.
∴所求弦长为.
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