题目内容
【题目】已知椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）经过点（1， 
），离心率为 ，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）当 
⊥ 
=0时，求△OPQ面积的最大值．
【答案】解：（Ⅰ）由题意知：且 
，可得： 
，
椭圆C的标准方程为 
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，与 ，联立得 
．
由于 
，得 
，解得 
或m=2（舍去）．
此时 
，△OPQ的面积为 
当直线l的斜率存在时，由题知k≠0，设l：y=kx+m，与 联立，
整理得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．由△＞0，得4k2﹣m2+1＞0；
且 
， 
由于 ，得： 
．
代入（*）式得：12k2+5m2+16km=0，即 
或m=﹣2k（此时直线l过点A，舍去）．
，
点O到直线l的距离为： 
S△OPQ= 
，将 代入得： 
，
令 
0＜p＜1， 
，由y=﹣9p2﹣7p+16，
在（0，1）上递减，
∴0＜y＜16，故 
，
综上（S△OPQ）max=
【解析】（Ⅰ）将点代入椭圆方程，根据椭圆的离心率公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论．当直线l的斜率不存在时，求得P，Q点坐标，由 
⊥ 
=0即可求得m的值，求得丨PQ丨，即可求得△OPQ面积；
当直线l的斜率存在，且不为0，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及向量数量积的坐标运算，根据函数的单调性即可求得△OPQ面积的最大值．
【题目】第96届（春季）全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办．交易会开始前，展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系，查阅了最近5次交易会的参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量t（袋），得到如下数据：
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数x（万人） | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料t（袋） | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
（Ⅰ）请根据所给五组数据，求出t关于x的线性回归方程 
；
（Ⅱ）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为 
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元，多余的原材料只能无偿返还．若餐厅原材料现恰好用完，据悉本次交易会大约有14万人参加，根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入﹣原材料费用）．
（参考公式： 
= 
， 
）
