Question

【题目】设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn ， 若a2 ， a5 ， a11成等比数列，且a11=2（Sm﹣Sn）（m＞n＞0，m，n∈N*），则m+n的值是 ．

Answer 1

【答案】9
【解析】解：设公差d不为0的等差数列{an}， a2 ， a5 ， a11成等比数列，
可得a52=a2a11 ，
即为（a1+4d）2=（a1+d）（a1+10d），
化简可得a1=2d，
a11=2（Sm﹣Sn），
即有12d=2[ma1+ d﹣na1﹣ d]，
12d=4md﹣4nd+d（m2﹣m﹣n2+n），
即有（m﹣n）（m+n+3）=12，
由于m＞n＞0，m，n∈N*，
可得m+n+3≥6，m﹣n≤2，
若m=2，3，n=1则方程不成立；
若m=3，4，n=2，则方程不成立；
若m=4，5，n=3，则方程不成立；
若m=5，n=4，则方程成立；
m=6，n=4则方程不成立．
故m+n=5+4=9．
故答案为：9．
设公差d不为0的等差数列{an}，运用等比数列中项的性质，化简可得a1=2d，再由等差数列的求和公式，化简可得（m﹣n）（m+n+3）=12，通过m＞n，且m，n为自然数，列举判断即可得到所求和．