Question

【题目】若函数f（x）=x2+ax+ 在（ ，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A.[﹣1，0]
B.[﹣1，+∞）
C.[0，3]
D.[3，+∞）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由f（x）=x2+ax+ ，得f′（x）=2x+a﹣ = ，

令g（x）=2x3+ax2﹣1，

要使函数f（x）=x2+ax+ 在（ ，+∞）是增函数，

则g（x）=2x3+ax2﹣1在x∈（ ，+∞）大于等于0恒成立，

g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），

当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（ ）≥0，解得 + ﹣1≥0，a≥3（舍）；

当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（ ）≥0，解得 + ﹣1≥0，a≥3；

当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+ 在（ ，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．

故选：D．

【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．