题目内容

3.数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$,求数列{bn}的前n项和Tn

分析 (I)由Sn=2an-a1,利用递推可得:an=2an-1.由a1,a2+1,a3成等差数列,2(a2+1)=a1+a3,代入解出即可.
(II)an+1=2n+1,可得Sn,bn=$\frac{1}{2}$$(\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1})$,利用“裂项求和”即可得出.

解答 解:(I)由Sn=2an-a1
当n≥2时,Sn-1=2an-1-a1
∴an=2an-2an-1
化为an=2an-1
由a1,a2+1,a3成等差数列.
∴2(a2+1)=a1+a3
∴2(2a1+1)=a1+4a1
解得a1=2.
∴数列{an}是等比数列,首项为2,公比为2.
∴an=2n
(II)an+1=2n+1,Sn=$\frac{2({2}^{n}-1)}{2-1}$=2n+1-2,Sn+1=2n+2-2.
bn=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{({2}^{n+1}-2)({2}^{n+2}-2)}$=$\frac{1}{2}(\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1})$.
∴数列{bn}的前n项和Tn=$\frac{1}{2}[(\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1})$+$(\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1})$+…+$(\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1})]$
=$\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1})$.

点评 本题考查了递推关系的应用、“累加求和”方法、等差数列的通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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