Question

18．观察下列式子：
$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{5}$；
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{35}$=$\frac{3}{7}$；
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{35}$+$\frac{1}{63}$=$\frac{4}{9}$；
…
则可以归纳，当n∈N_*时，有式子$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{35}$+…+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 观察已知条件，找出规律即可写出结果．

解答 解：观察下列式子：
$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$；
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{5}$；
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{35}$=$\frac{3}{7}$；
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{35}$+$\frac{1}{63}$=$\frac{4}{9}$；
…
可以得到等式的左侧的项数与等式的个数相对应，分子是1，分母是连续的两个奇数的乘积，右侧分母是左侧分母最大的一个奇数，分子是等式的个数，
当n∈N_*时，有式子$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{35}$+…+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{15}$+$\frac{1}{35}$+…+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查归纳推理，找出规律是解题的关键．