题目内容

17.设椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的右焦点为F,下顶点和上顶点分别为B1,B2,以B1为圆心,B1B2为半径的圆恰好经过点F且与直线3x-4y+6=0相切,求椭圆C的方程.

分析 利用已知条件列出方程组,求出椭圆的几何量,即可求解椭圆的方程.

解答 解:设椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的右焦点为F,下顶点和上顶点分别为B1(0,b),B2(0,-b),以B1为圆心,B1B2为半径的圆恰好经过点F且与直线3x-4y+6=0相切,
可得:2b=a,$\frac{|-4b+6|}{\sqrt{{3}^{2}+({-4)}^{2}}}=2b$,
解得:b=$\frac{3}{7}$,a=$\frac{6}{7}$,
所求椭圆方程为:$\frac{49{x}^{2}}{9}+\frac{49{y}^{2}}{36}=1$.
故答案为:$\frac{49{x}^{2}}{9}+\frac{49{y}^{2}}{36}=1$.

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用,考查椭圆的方程以及直线与圆的位置关系,考查计算能力.

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