题目内容
【题目】已知函数f（x）= 
（a≠0）．
（1）试讨论y=f（x）的极值；
（2）若a＞0，设g（x）=x2emx ， 且任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）﹣g（x2）≥﹣1恒成立，求m的取值范围．
【答案】
（1）解：f′（x）=﹣ 
，
a＞0时，当x=﹣1时，f（x）的极小值为f（﹣1）=﹣ 
，
当x=1时，f（x）的极大值为f（1）= ，
a＜0时，当x=﹣1时，f（x）的极大值为f（﹣1）=﹣ ，
当x=1时，f（x）的极小值为f（1）=
（2）解：方法一：由题意知，x1，x2∈[0，2]，
f（x）min（x1）+1≥gmax（x2），
x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，
x∈[0，2]，x2emx≤1，m≤﹣ 
，m≤{﹣ }min，m≤﹣ln2，
方法二：分类讨论
x1∈[0，2]，fmin（x1）+1=1，
∴x∈[0，2]，gmax（x）≤1，
g（x）=x2emx，g′（x）=emxx（mx+2），
1）当m≥0时，g（x）在[0，2]上单调递增，
gmax（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2（舍），
2）当﹣1＜m＜0时，g（x）在[0，2]上单调递增，
gmax（x）=g（2）=4e2m≤1，解得：m≤﹣ln2，
∴﹣1＜m≤﹣ln2，
3）当m≤﹣1时，g（x）在[0，﹣ 
]上单调递增，在[﹣ ，2]上单调递减，
gmax（x）=g（﹣ ）= 
≤1，解得：m≤﹣ 
，∴m≤﹣1，
综合得：m≤﹣ln2．
【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的极值即可；（2）结合题意得到f（x）min（x1）+1≥gmax（x2），法一：分离参数问题转化为m≤﹣ ，从而求出m的范围即可；法二：通过分类讨论求出m的范围即可．
【考点精析】掌握函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道求函数
的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值．
