题目内容

【题目】已知数列{an}的首项为1,前n项和Sn与an之间满足an= (n≥2,n∈N*
(1)求证:数列{ }是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设存在正整数k,使(1+S1)(1+S1)…(1+Sn)≥k 对于一切n∈N*都成立,求k的最大值.

【答案】
(1)证明:∵数列{an}的前n项和Sn与an之间满足an= (n≥2,n∈N*),

∴Sn﹣Sn﹣1= ,化为: =2.

∴数列{ }是等差数列,公差为2,首项为1


(2)解:由(1)可得: =1+2(n﹣1)=2n﹣1,可得Sn=

∴n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=

∴an=


(3)解:∵1+Sn=1+ =

∴Tn=(1+S1)(1+S1)…(1+Sn)= × ×…× × ×…× = ×…× ×(2n+1)

=

可得:Tn

∴存在正整数k,使(1+S1)(1+S1)…(1+Sn)≥k 对于一切n∈N*都成立,则k的最大值为1.


【解析】(1)数列{an}的前n项和Sn与an之间满足an= (n≥2,n∈N*),可得Sn﹣Sn﹣1= ,化为: =2.即可证明.(2)由(1)可得: =1+2(n﹣1)=2n﹣1,可得Sn= .n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1;n=1时,a1=1.(3)1+Sn=1+ = .可得Tn=(1+S1)(1+S1)…(1+Sn)= × ×…× × ×…× = ×…× ×(2n+1)= ,可得:Tn .即可得出.

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