Question

2．二项式（2x+3）¹²的展开式中系数最大的项的项数是：8．

Answer 1

分析 先求得二项式（2x+3）¹²的展开式的通项公式，可得第r+1项的系数为${C}_{12}^{r}$•3^r•2^12-r．设第r+1项的系数最大，则由 $\left\{\begin{array}{l}{{C}_{12}^{r}{•3}^{r}{•2}^{12-r}{≥C}_{12}^{r+1}{•3}^{r+1}{•2}^{11-r}}\\{{C}_{12}^{r}{•3}^{r}{{•2}^{12-r}≥C}_{12}^{r-1}{•3}^{r-1}{•2}^{13-r}}\end{array}\right.$求得r的范围，从而得出结论．

解答 解：二项式（2x+3）¹²的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{12}^{r}$•3^r•2^12-r•x^12-r，
可得第r+1项的系数为${C}_{12}^{r}$•3^r•2^12-r．
设第r+1项的系数最大，则有 $\left\{\begin{array}{l}{{C}_{12}^{r}{•3}^{r}{•2}^{12-r}{≥C}_{12}^{r+1}{•3}^{r+1}{•2}^{11-r}}\\{{C}_{12}^{r}{•3}^{r}{{•2}^{12-r}≥C}_{12}^{r-1}{•3}^{r-1}{•2}^{13-r}}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{12！{•3}^{r}{•2}^{12-r}}{r!•（12-r）!}≥\frac{12!{•3}^{r+1}{•2}^{11-r}}{（r+1）!•（11-r）!}}\\{\frac{12!{•3}^{r}{•2}^{12-r}}{r!•（12-r）!}≥\frac{12!{•3}^{r-1}{•2}^{13-r}}{（r-1）!•（13-r）!}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{r≥\frac{34}{5}}\\{r≤\frac{39}{5}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{34}{5}$≤r≤$\frac{39}{5}$．
再结合r∈N，可得r=7，
故答案为：8．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式的应用，组合数的计算公式，属于中档题．