Question

设二次函数f（x）=x²+x，当x∈[n，n+1]（n∈N*）时，f（x）的所有整数值的个数为g（n）．
（1）试用n表示g（n）；
（2）设an=

2n3+3n2

g(n)

（n∈N*），S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，求S_n；
（3）设bn=

g(n)

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＜M（M∈Z），求M的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题意得g（n）=f（n+1）-f（n）+1，g（n）可求；
（2）an=

2n3+3n2

g(n)

=n2，S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n，对n分奇、偶讨论解决即可；
（3）bn=

g(n)

2n

=

2n+3

2n

，利用错位相减法可求T_n=b₁+b₂+…+b_n，由T_n＜M（M∈Z），可求M的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+x，
∴g（n）=f（n+1）-f（n）+1=2n+3；
（2）∵an=

2n3+3n2

g(n)

=n2，
∴S_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+（-1）^n-1a_n=1-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1•n²
∴Sn=

- n(n+1) 2 ，n偶 n(n+1) 2 ，n奇

；
（3）∵bn=

g(n)

2n

=

2n+3

2n

，
∴Tn=

5

2

+

7

4

+

9

8

+…+

2n+3

2n

，①
 

1

2

Tn=   

5

4

+

7

8

+

9

16

+…+

2n+3

2n+1

②
①-②Tn=7 -

2n+7

2n

＜M
∴M_min=7．

点评：本题考查二次函数的性质与数列求和的结合，着重考查数列中分类讨论与转化的思想，注重错位相减法的考查，属于难题．