题目内容

【题目】已知

1)当时,证明:

2)已知点,点O为坐标原点,函数,请判断:当的零点个数.

【答案】1)见解析(2上零点个数为2

【解析】

1)不等式等价,设,计算其导函数的最值得到函数的单调区间,计算最值得到答案.

2)计算得到函数表达式,求导,讨论四种情况,根据函数单调性分别计算零点得到答案.

1等价于证明

,则

,则

,得;由,得

递减,在递增,

上恒成立.

递减,在递增,∴,∴

2)点,点

①当时,可知,即,又

单调递减.又∵

上有一个零点.

②当时,设,则,函数单调递增,

,故

,∴恒成立,

上无零点.

③当时,∵

,∴上单调递增.

又∵

上存在一个零点.

④当,∵,∴恒成立,

无零点.

综上,上零点个数为2

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