题目内容
【题目】已知,.
(1)当时,证明:;
(2)已知点,点,O为坐标原点,函数,请判断:当时的零点个数.
【答案】(1)见解析(2)在上零点个数为2.
【解析】
(1)不等式等价,设,计算其导函数的最值得到函数的单调区间,计算最值得到答案.
(2)计算得到函数表达式,求导,讨论,,,四种情况,根据函数单调性分别计算零点得到答案.
(1)等价于证明.
令,则.
令,则,
由,得;由,得,
∴在递减,在递增,
∴,
∴在上恒成立.
∵在递减,在递增,∴,∴.
(2)点,点,,
∴.
①当时,可知,即,又,,
∴,在单调递减.又∵,.
∴在上有一个零点.
②当时,设,则,函数单调递增,
故,故,,
∴,∴恒成立,
∴在上无零点.
③当时,∵,
∴,∴在上单调递增.
又∵,,
∴在上存在一个零点.
④当,∵,,∴恒成立,
∴在无零点.
综上,在上零点个数为2.
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