题目内容

设函数fn(x)=-1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
，(x∈R，n∈N*)
（1）证明对每一个n∈N*，存在唯一的xn∈[
1
2
，1]，满足fn（xn）=0；
（2）由（1）中的xn构成数列{xn}，判断数列{xn}的单调性并证明；
（3）对任意p∈N*，xn，xn+p满足（1），试比较|xn-xn+p|与
1
n
的大小．
分析：（1）本小题即证明函数在[
1
2
，1]内存在唯一的零点，由零点判定定理可得零点所在区间，利用导数可判断函数的单调性，从而得零点的唯一性；
（2）只需判断xn与xn+1的大小关系即可，由（1）可知fn（x）在（0，+∞）上递增，根据fn(xn+1)=-1+xn+1+
x
2
n+1
2!
+…+
x
n
n+1
n!
，及fn+1(xn+1)=-1+xn+1+
x
2
n+1
2!
+…+
x
n
n+1
n!
+
x
n+1
n+1
(n+1)!
=fn(xn+1)+
x
n+1
n+1
(n+1)!
=0，可判断fn（xn+1）与0=fn（xn）的大小关系，再根据fn（x）在（0，+∞）上的单调性可作出xn与xn+1的大小比较；
（3）由数列{xn}单调性可知xn-xn+p＞0，由xn，xn+p满足（1）知，fn(xn)=-1+xn+
x
2
n
2!
+…+
x
n
n
n!
=0，fn+p(xn+p)=-1+xn+p+
x
2
n+p
2!
+…+
x
n
n+p
n!
+
x
n+1
n+p
(n+1)!
+…+
x
n+p
n+p
(n+p)!
=0，两式相减：并结合xn+p-xn＜0，以及xn∈[
1
2
，1]可表示出xn-xn+p，利用不等式进行放缩可证明；
解答：解：（1）f′n(x)=1+x+
x2
2!
+…+
xn-1
(n-1)!
，
显然，当x＞0时，f'n（x）＞0，
故fn（x）在（0，+∞）上递增．
又fn(1)=-1+1+
1
2!
+…+
1
n!
≥0，fn(
1
2
)=-1+
1
2
+
(
1
2
)2
2!
+…+
(
1
2
)n
n!
＜-1+
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n=-1+
1
2
(1-(
1
2
)n)
1-
1
2
=-(
1
2
)n＜0，
故存在唯一的xn∈[
1
2
，1]，满足fn（xn）=0；
（2）由（1）知fn（x）在（0，+∞）上递增，
∵fn(xn+1)=-1+xn+1+
x
2
n+1
2!
+…+
x
n
n+1
n!
，
∴fn+1(xn+1)=-1+xn+1+
x
2
n+1
2!
+…+
x
n
n+1
n!
+
x
n+1
n+1
(n+1)!
=fn(xn+1)+
x
n+1
n+1
(n+1)!
=0，
∴fn(xn+1)=-
x
n+1
n+1
(n+1)!
＜0=fn(xn)，
由（1）知fn（x）在（0，+∞）上递增，
故xn+1＜xn，即数列{xn}单调递减．
（3）由（2）知数列{xn}单调递减，故xn-xn+p＞0，
而fn(xn)=-1+xn+
x
2
n
2!
+…+
x
n
n
n!
=0，fn+p(xn+p)=-1+xn+p+
x
2
n+p
2!
+…+
x
n
n+p
n!
+
x
n+1
n+p
(n+1)!
+…+
x
n+p
n+p
(n+p)!
=0，
两式相减：并结合xn+p-xn＜0，以及xn∈[
1
2
，1]，得
xn-xn+p=
n
k=2
x
k
n+p
-
x
k
n
k!
+
n+p
k=n+1
x
k
n+p
k!
            ＜
n+p
k=n+1
x
k
n+p
k!
≤
n+p
k=n+1
1
k!
＜
n+p
k=n+1
1
k(k-1)
            =
n+p
k=n+1
[
1
k-1
-
1
k
]=
1
n
-
1
n+p
＜
1
n

所以有|xn-xn+p|＜
1
n
．
点评：本题考查数列与函数、不等式的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，本题综合性强，对能力要求高．
练习册系列答案
相关题目
设函数fn(x)=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f2（x）在区间（
1
2
，  1）内不存在零点；
②函数f3（x）在区间（
1
2
，  1）内存在唯一零点；
③?n∈N*，且n≥4，函数fn（x）在区间(
1
2
，  1)内存在零点．
其中所有正确结论的序号为
②③
②③
．
（2012•陕西）设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(
12
，1)内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．
（2013•盐城二模）设函数fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值为
12
，求a，b的值．
设函数fn(x)=xn(1-x)2在[
12
，1]上的最大值为an（n∈N+）．
（1）求a1，a2的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数fn（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(
12
，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．

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