Question

设函数fn(x)=xn(1-x)2在[

1

2

，1]上的最大值为a_n（n∈N₊）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求a₁，a₂的值；
（2）求导函数，确定函数的单调性，求最值，从而可求数列{a_n}的通项公式．

解答：解：（1）当n=1时，f1(x)=x(1-x)2，则f1′(x)=(1-x)2-2x(1-x)=(1-x)(1-3x)
当x∈[

1

2

，1]时，f₁'（x）≤0，即函数f₁（x）在[

1

2

，1]上单调递减，∴a1=f1(

1

2

)=

1

8

，
当n=2时，f2(x)=x2(1-x)2，则f2′(x)=2x(1-x)2-2x2(1-x)=2x（1-x）（1-2x）
当x∈[

1

2

，1]时，f₂'（x）≤0，即函数f₂（x）在[

1

2

，1]上单调递减，
∴a2=f2(

1

2

)=

1

16

（2）令f_n'（x）=0得x=1或x=

n

n+2

，
∵当n≥3时，

n

n+2

∈[

1

2

，1]且当x∈[

1

2

，

n

n+2

)时，f_n'（x）＞0，
当x∈(

n

n+2

，1]时f_n'（x）＜0，故f_n（x）在x=

n

n+2

处取得最大值，
即当n≥3时，an=fn(

n

n+2

)=(

n

n+2

)n(

2

n+2

)2=

4nn

(n+2)n+2

，------（*）
当n=2时（*）仍然成立，
综上得an=

1 8 ，n=1 4nn (n+2)n+2 ，n≥2

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项，考查学生的计算能力，属于中档题．