题目内容
设函数fn(x)=xn+x-1,其中n∈N*,且n≥2,给出下列三个结论:
①函数f2(x)在区间(
, 1)内不存在零点;
②函数f3(x)在区间(
, 1)内存在唯一零点;
③?n∈N*,且n≥4,函数fn(x)在区间(
, 1)内存在零点.
其中所有正确结论的序号为
①函数f2(x)在区间(
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②函数f3(x)在区间(
1 |
2 |
③?n∈N*,且n≥4,函数fn(x)在区间(
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2 |
其中所有正确结论的序号为
②③
②③
.分析:①判断函数f2(x)=x2+x-1在区间(
,1)上取值情况.②利用f3(x)=x3+x-1的单调性判断.③利用根的存在定理判断.
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解答:解:①因为f2(x)=x2+x-1,所以f2(1)=1>0,f2(
)=
+
-1=-
<0,所以f2(x)在区间(
,1)上存在零点,所以①错误.
②由题意知f3(x)=x3+x-1.因为f3(1)=1>0,f3(
)=
+
-1=-
<0,所以f3(x)在区间(
,1)上存在零点,
又因为f3(x)=x3+x-1为单调递增函数,所以函数f3(x)在区间(
, 1)内存在唯一零点,所以②正确.
③?n∈N*,且n≥4,fn(1)=1>0,fn(
)=(
)n+
-1=(
)n-
<0,所以函数fn(x)在区间(
, 1)内存在零点,所以③正确.
故答案为:②③.
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②由题意知f3(x)=x3+x-1.因为f3(1)=1>0,f3(
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3 |
8 |
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又因为f3(x)=x3+x-1为单调递增函数,所以函数f3(x)在区间(
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2 |
③?n∈N*,且n≥4,fn(1)=1>0,fn(
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故答案为:②③.
点评:本题考查了函数零点的判断,判断函数零点问题主要是利用根的存在定理,判断区间短点处的函数值符合相反即可.
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