题目内容

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
(Ⅰ)当b>0时,判断函数fn(x)在(0,+∞)上的单调性;
(Ⅱ)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(
12
,1)
内存在唯一的零点;
(Ⅲ)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围.
分析:(Ⅰ)当b>0时,由函数的解析式可得fn(x)′=nxn-1+b在(0,+∞)上大于零,从而得到函数fn(x)在(0,+∞)上是增函数.
(Ⅱ)根据函数fn(x)=xn+x-1,再根据 fn(
1
2
)
=(
1
2
)
n
+
1
2
-1<0,fn(1)=1>0,结合函数在(0,+∞)上是增函数以及函数零点的判定定理,证得结论.
(Ⅲ)由于f2(x)=x2+bx+c,它的对称轴为x=-
b
2
,分故当-
b
2
≤-1、分当-
b
2
≥1、当-1<-
b
2
≤0、当 0<-
b
2
<1四种情况,分别利用条件以及二次函数的性质求得b的范围,综合可得结论.
解答:解:(Ⅰ)当b>0时,由函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
可得fn(x)′=nxn-1+b在(0,+∞)上大于零,故函数fn(x)在(0,+∞)上是增函数.
(Ⅱ)设n≥2,b=1,c=-1,则函数fn(x)=xn+x-1,
再根据 fn(
1
2
)
=(
1
2
)
n
+
1
2
-1<0,fn(1)=1>0,
结合函数在(0,+∞)上是增函数,可得fn(x)在区间(
1
2
,1)
内存在唯一的零点.
(Ⅲ)由于n=2,f2(x)=x2+bx+c,它的对称轴为x=-
b
2

由于对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,
故当-
b
2
≤-1,即 b≥2时,f2(x)max-f2(x)min=f2(1)-f2(-1)=2b≤4,∴b=2.
当-
b
2
≥1,即 b≤-2时,f2(x)max-f2(x)min=f2(-1)-f2(1)=-2b≤4,∴b=-2.
当-1<-
b
2
≤0,即0≤b<2时,f2(x)max-f2(x)min=f2(1)-f2(-
b
2
)
=
b2
4
+b+1≤4,
解得-6≤b≤2;结合0≤b<2可得 0≤b<2.
当 0<-
b
2
<1,即-2<b<0时,f2(x)max-f2(x)min=f2(-1)-f2(-
b
2
)
=
b2
4
-b+1≤4,
解得-2≤b≤6;结合-2<b<0可得-2<b<0.
综上可得,-2≤b≤2,即b得范围为[-2,2].
点评:本题主要考查函数的单调性的判断和证明,函数零点的判定定理,求二次函数在闭区间上的最值,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.
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