题目内容
已知函数
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程;
(Ⅱ)若,讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)对任意的,恒有,求实数的取值范围.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程;
(Ⅱ)若,讨论函数的单调区间;
(Ⅲ)对任意的,恒有,求实数的取值范围.
(1)
(2)若,则,可知函数的增区间为和,减区间为
若,则,可知函数的增区间为;
若,则,可知函数的增区间为和,减区间为
(3)
(2)若,则,可知函数的增区间为和,减区间为
若,则,可知函数的增区间为;
若,则,可知函数的增区间为和,减区间为
(3)
试题分析:解:(Ⅰ),得切线斜率为 2分
据题设,,所以,故有 3分
所以切线方程为即 4分
(Ⅱ)
若,则,可知函数的增区间为和,减区间为 8分
若,则,可知函数的增区间为;
若,则,可知函数的增区间为和,减区间为 10分
(Ⅲ)当时,据(Ⅱ)知函数在区间上递增,在区间上递减,所以,当时,,故只需,
即
显然,变形为,即,解得 12分
当时,据(Ⅱ)知函数在区间上递增,则有
只需,解得.
综上,正实数的取值范围是 14
点评:考查了导数在研究函数中的运用,求解切线方程以及函数单调性,以及函数的最值,属于中档题。
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