题目内容
【题目】已知函数,
,其中
是自然对数的底数.
(Ⅰ)判断函数在
内零点的个数,并说明理由;
(Ⅱ),
,使得不等式
成立,试求实数
的取值范围;
(Ⅲ)若,求证:
.
【答案】(1)1(2)(3)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)首先求函数的导数 ,判断导数的正负,得到函数的单调性,再根据零点存在性定理得到零点的个数;(Ⅱ)不等式
等价于
,根据导数分别求两个函数的最小值和最大值,建立不等式求
的取值范围;(Ⅲ)利用分析法逐步找到使命题成立的充分条件,即
,证明
,求
的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)函数在
上的零点的个数为1,,
理由如下:因为,所以
.
因为,所以
.
所以函数在
上是单调递增函数.
因为,
,
根据函数零点存在性定理得
函数在
上的零点的个数为1.
(Ⅱ)因为不等式等价于
,
所以,
,使得不等式
成立,等价于
,
当时,
,故
在区间
上单调递增,所以
时,
取得最小值-1,
又,由于
,
,
,
所以,故
在区间
上单调递增.
因此,时,
取得最大值
.
所以,所以
,
所以实数的取值范围是
.
(Ⅲ)当时,要证
,只要证
,
只要证,
只要证,
由于,
只要证
.
下面证明时,不等式
成立.
令,则
,
当时,
,
是单调递减;
当时,
,
是单调递增.
所以当且仅当时,
取得极小值也就是最小值为1.
令,其可看作点
与点
连线的斜率,
所以直线的方程为:
,
由于点在圆
上,所以直线
与圆
相交或相切,
当直线与圆
相切且切点在第二象限时,
当直线取得斜率
的最大值为1.
故时,
;
时,
.
综上所述,当时,
成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分)
运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2100 | 1027 | 376 | 697 |
乙的频数统计表(部分)
运行 | 输出y的值 | 输出y的值 | 输出y的值 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2100 | 1051 | 696 | 353 |
当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.